کاربرد کامپیوتر در ریاضی

موضوع : کاربرد کامپیوتر در ریاضی

توضیح: این فایل به صورت ورد و آماده چاپ می باشد

تحليل داده ها
1- ارقام با معني: 
براي تعيين رقمهاي با معنا ، رقمها را از سمت چپ به راست مي شماريم. صفرهايي ك قبل از اولين رقم سمت چپ نوشته مي شوندجزء رقمهاي با معنا به حساب نمي آيند اين صفرها به هنگام تبديل يكاها ظاهر مي شوند و تبديل يكاها نبايد تعداد رقمهاي با معنا را تغيير دهد
12/6  : سه رقم بامعني
0010306/0  :پنج رقم با معني كه اولين رقم با معني يك است.صفرهاي قبل از يك با معني نيستند
20/1 : سه رقم با معني در صورتيكه صفر با معني نباشد عدد بايد به صورت2/1 نوشته شود
38500 : سه رقم با معني، چيزي براي اينكه نشان دهد صفرها با معني هستند يا نه مشخص نيست مي توان اين ابهام را با نوشتن بصورتهاي زير برطرف كرد:
  : هيچكدام از صفرها با معني نيستند
  : يكي از صفرها با معني است
  :هر دو صفر با معني است
m 040/0 = Cm0 /4=mm40 كه هر سه داراي سه رقم با معني هستند.
2- گرد كردن اعداد:
اگر بخواهيم ارقام عدد 3563342/2 را به دو رقم كاهش دهيم، اين عمل را گرد كردن عدد مي نامند. براي اين منظور بايد به رقم سوم توجه كنيم بدين صورت كه اگر قم سوم بزرگتر يا مساوي5 باشد رقم دوم به طرف بالا گرد مي شود و اگر رقم سوم كوچكتر از 5 باشد رقم دوم به حال خود گذاشته مي شود
                                                            4/1                                          3563342/2
                                                            62700                                              62654                                 
                                                                 108/0                                                             10759/0
3- محاسبات و ارقام با معني:
مي خواهيم سطح مقطع يك استوانه به قطر6/7 را بدست آوريم:
اشكال كار: اگر دقت كنيم محاسبات تا 10 رقم با معني است اگر از كامپيوتري تا 100 رقم استفاده مي كرديم چه؟ در صورتيكه قطر كره تا دو رقم با معني است بنابراين در اينگونه موارد به نكات زير توجه مي كنيم:
توجه: اگر مجبوريد محاسبه اي را كه در آن خطاي مقادير مشخص نيست انجام دهيد و مي بايستي فقط با ارقام با معني كار كنيد به نكات زير توجه كنيد:
الف ) زماني كه اعداد را در هم ضرب و يا بر هم تقسيم مي كنيد: عددي كه با كمترين ارقام با معني در محاسبه است را شناسايي كنيد به حاصل محاسبه همين تعداد ارقام با معني نسبت دهيد
 چون 7/3 با دو رقم با معني است                                          
ب ) زماني كه اعداد را با هم جمع و يا از هم كم مي كنيد: تعداد ارقام اعشاري عدد حاصل از محاسبه را برابر تعداد كمترين ارقام اعشاري اعداد شركت داده شده در محاسبه گرد كنيد
كمترين اعشار مربوط به1/13 است              
مثال: شعاع يك كره5/13 سانتيمتر برآورد شده است. حجم ايمن كره را بدست آوريد؟
جواب:                   
مثال: چگالي كرهاي به جرم44/0 گرم و قطر76/4 ميلي متر را بدست آوريد؟
 4- متغيرهاي وابسته و مستقل:
به كميتي كه مقدار آن را مي توانيم تنظيم نمائيم و يا در طول آزمايش به دلخواه تغيير داده مي شود، متغير مستقل گفته مي شود و آنرا به عنوان مختصهx  در نمودار مي گيريم.
به كميتي كه بر اثر تغيير در متغير مستقل پيدا مي كند، متغير وابسته گفته مي شود و به عنوان مختصهy  در نمودار گرفته مي شود.
مثلا در آزمايش انبساط طولي ميله در اثر حرارت دما متغير مستقل و طول ميله متغير وابسته مي باشد 
5- خطا :
تمام اندازه گيريها متاثر از خطاي آزمايش هستند.منطور اين است كه اگر مجبور با انجام اندازه گيريهاي پيايي يك كميت بخوصوص باشيم، به احتمال زياد به تغييراتي در مقادير مشاهده شده برخورد خواهيم كرد. گرچه امكان دارد بتوانيم مقدار خطا را با بهبود روش آزمايش و يا بكارگيري روشهاي آماري كاهش دهيم ولي هرگز نمي توانيم آن را حذف كنيم.
1-5- خطاي دقت وسايل اندازه گيري :
هيچ وسيله اندازه گيري وجود ندارد كه بتواند كميتي را با دقت بينهايت اندازه گيري نمايد.بنابراين ناديده گرفتن خطاي وسايل اندازه گيري در آزمايش اجتناب ناپذير است.
اگر اندازه كميتي كه اندازه مي گيريم با گذر زمان تغيير نكند، مقدار خطا را نصف كوچكترين درجه بندي آن وسيله در نظر مي گيريم.
مثال:
متر            كوچكترين درجه mm1               = مقدار خطا
پس اندازه گيريي  mm54 را بصورت              بيان مي كنيم
دما سنج           كوچكترين درجه ºC2               = مقدار خطا
پس اندازه گيريي ºC60 را بصورت               بيان مي كنيم   
2-5- خطاي خواندن مقدار اندازه گيري:
3-5- خطاي درجه بندي وسايل اندازه گيري:
تعريف خطاي مطلق: اگر خطا را با همان يكاي كميت اندازه گيري شده بيان نمائيم، به اين خطا، خطاي مطلق كميت اندازه گيري گفته مي شود
تعريف خطاي نسبي: اگر خطا بصورت كسري           باشد، به اين كسر، خطاي نسبي مقدار كميت اندازه گيري شده گفته مي شود
4-5- تركيب خطاها :
ممكن است در آزمايشي نياز به يافت چند كميت، كه بايد آنها را بعداُ  در معادله اي وارد كنيم، داشته باشيم براي مثال ممكن است جرم و حجم جسمي را اندازه بگيريم و سپس نياز به محاسبه چگالي داشته باشم، كه با رابطه زير تعريف مي شود:   سوال اينجاست كه چه تركيبي از خطاهاي مقادير m وV ] اندازه خطاي  را بدست مي دهد. بدين منظور سه روش زير ارائه داده مي شود:
الف) روش اول: اين روش را با دومثال زير توضيح مي دهيم:
مثال1: قطر سيمي با مقطع دايره اي برابر است با:  مطلوب است اندازه سطح سيم و مقدار خطاي آن؟
جواب:              
مثال2: در يك آزمايش الكتريكي، جريان جاري شده در يك مقاومت برابر با  و ولتاژ دو سر مقاومت   اندازه گيري شد.اندازه مقاومت و مقدار خطاي مقاومت را بدست آوريد؟
جواب:                                                           
     بايد بيشترين مقدار صورت و كمترين مقدار مخرج را در نظر بگيريم
     بايد كمترين مقدار صورت و بيشترين مقدار مخرج را در نظر بگيريم
     ب ) روش دوم (محاسبه خطا با استفاده از مشتقات جزئي)
روش قبل در صورتيكه فرمول مورد استفاده بيشتر از يك كميت باشد، مي تواند مشكل آفرين باشد بنابراين روش ديگري معرفي مي شود كه مبتني بر حساب ديفرانسيل است.
تابعZ تابعي از دو متغيرx وy مي باشد Z=f(x,y)  در نظر مي گيريم. مشتق جزئيZ بر حسبx وy را بصورت  نشان مي دهيم.در موقع محاسبه   ، y را ثابت گرفته و مشتقZ نسبت
فهرست مطالب
كاربرد كامپيوتر در رياضي
1- ارقام با معني:
2- گرد كردن اعداد:
3- محاسبات و ارقام با معني:
4-    متغيرهاي وابسته و مستقل:
5-    خطا
6-    1-5- خطاي دقت وسايل اندازه گيري
7-    خطاي خواندن مقدار اندازه گيري:
8-    4-5- تركيب خطاها :
ب ) روش دوم (محاسبه خطا با استفاده از مشتقات جزئي)
ج ) روش سوم زماني كه خطاي اندازه گيريها كميتهاي مستقل از يكديگر باشند
تفاوتهاي بين درستي و دقت
- مقدار ميانگين:
مقدار ميانگين درصورتيكه خطاهاي اندازه گيريها يكسان باشد
- واريانس و انحراف معيار
رابطه انحراف از معيار و خطا در مقدار ميانگين
ويژگيهاي توزيع بهنجار
برازش دادها
برازش خطي برحسب گراني داده ها
روش خطي كردن با تغيير متغير
برازش چند جمله اي
خطاي ضرايب
برازش دادها بوسيله نرم افزار  Excel
برازش دادها بوسيله نرم افزار Mathematica
برازش دادها بوسيله نرم افزارOrigin
برازش دادها بوسيله برنامه نويسي فرترن
برازش با استفاده از سابرتينFit
فصل سوم
روش مونت كارلو
اعداد تصادفي
خصوصيات اعداد تصادفي
روش مونت كارلو
برنامه محابسه عدد پي
روش مقدار ميانگين
برنامه كامپيوتري براي محاسبه انتگرال به روش مقدار ميانگين
روش مونت كارلو در مكانيك آماري
شرايط تعادل سيستم
الگوريتم متروپوليس
مدل آيزينگ
شبكه گازي
روش مونت كارلو براي مدل آيزينگ
فصل چهارم
  حل معادلات خطي